БІРКА — ЕТИМОЛОГІЯ

бірки́ «дрібні річкові черепашки»

очевидно, результат зміни значення слова бі́рка (би́рка) «гральна кістка, шашка» і т. п;
Етимологічні відповідники

Слово Мова
бі́рка «гральна кістка, шашка» (би́рка) ?
п ?

би́рка «палка для карбування рахунків; вид дитячої гри»

остаточно не з’ясоване;
виводилось від тат. бир, ике «один, два» (Korsch AfSlPh 9,491; Mikl. TEl Nachtr. 1, 15; Тимч. 90);
зіставлялося з норв.дат.) birk «береза» (Богданов Этногр. обозр. 109, 32–33; Zelenin ZfSlPh 2, 207);
пов’язувалося також і з псл. ѕъbiratі «збирати», др. биръ «подать» (Bern. І 57; Брандт РФВ 18, ЗО; Mikl. EW 9; Преобр. І 26; Шанский ЭСРЯ І 2, 122–123) або з тат. бермек «брати», уг. bér «податок» (SW I 152);
р. би́рка кпалка для карбування», бр. бі́рка «тс.», п. bierka «гральна шашка, гральна кістка, прутик для дитячої гри, балотувальна куля, доля, жереб, вирок; позначка для розрахунку», [birka, biera] «тс.»;
Фонетичні та словотвірні варіанти

барки «вид гри біля мерця у гуцулів»
бирка «гральна шашка; жереб» (1627)
биркува́ти «робити помітки, карбувати»
бі́рка «тс.»
Етимологічні відповідники

Слово Мова
бі́рка «тс.» білоруська
биръ «подать» давньоруська
birk «береза»дат.)(Богданов Этногр. обозр. 109, 32--33; Zelenin ZfSlPh 2, 207) норвезька
bierka «гральна шашка, гральна кістка, прутик для дитячої гри, балотувальна куля, доля, жереб, вирок; позначка для розрахунку» польська
ѕъbiratі «збирати» праслов’янська
би́рка російська
бир татарська
бермек «брати» татарська
bér «податок» угорська
birka «тс.» українська
biera «тс.» українська
ике «один, два» ?

не́цю-бі́рка (вигук, яким підкликають овець)

складне утворення з компонентів [не́цю], пов’язаного з вигуком [ни́цько], яким підкликають ягнят (пор. [не́цька] «вівця»), і [бі́рка], фонетичного варіанта до би́рка «вівця»;
Етимологічні відповідники

Слово Мова
не́цю українська
ни́цько українська
бі́рка українська
би́рка «вівця» українська
не́цька українська
Етимологічний словник української мови Інституту мовознавства ім. О.О. Потебні НАН України